ハルの初心者プログラミング部

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【大学講義】最小二乗法を行列で考える&グラフをEXCELで描く【EXCEL】【数学】

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こんにちは、情報系大学生のハル(Blog_IT_haru)です。

今回は、大学で最小二乗法を習ったのですが、行列を使用して求める方法がややこしかったので、それをまとめるとともに、EXCELで、最小二乗法のグラフを描く方法について解説したいと思います。

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最小二乗法とは?

最小二乗法とは、データの組(x_i,y_i)が多数与えられたときに、xとyの関係を表すもっともらしい関数y=f(x)を求める方法です。

引用:最小二乗法(直線)の簡単な説明 | 高校数学の美しい物語

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最小二乗法(直線)の簡単な説明 | 高校数学の美しい物語より

例題で考えてみよう

例題

(2,3),(4,7),(9,11) というデータの組にフィットする最小二乗直線を求め、図示せよ。

最小二乗法(直線)の簡単な説明 | 高校数学の美しい物語の例題を改題)

行列を使った最小二乗直線の求め方


以上が、行列を使った、最小二乗直線の求め方です。

※上の図に、誤りがありました。3行目のA=(X^TY)^-1の部分は、A=(X^TX)^-1でした。

最小二乗法(直線)の簡単な説明 | 高校数学の美しい物語では、他の解き方で解説がされているので、参考にしていただければと思います。

グラフを描いて確かめよう

以上で求めた式が、本当に正しいのか確かめてみましょう。

まず、今求めた一次式を使って、グラフを描いてみましょう。

EXCELで、一次式の描き方がわからないという方は、以下の方法を参考にしてくださいね。

【Excel】エクセルにて1次関数(一次方程式)の計算(解や傾き)とグラフ化の方法【複数も】 | more E life

すると、

EXCELで一次式のグラフを描く

のような感じになります。

次に、EXCELで、グラフを描いてみます。

この方法については、Excelを使った最小二乗法を見ていただけるとわかると思います。

すると、

EXCELを使った最小二乗法

のような感じになります。

重ねると、

最小二乗法でグラフを重ねてみた

のような感じとなり、概ね合っていることがわかります。

参考にしたサイト

edu.isc.chubu.ac.jp

manabitimes.jp

toushitsu-off8.com

わかりやすいと思ったサイト

最小二乗法による近似直線の係数を行列計算で求めてみた。証明もしてみた

https://miscellaneous.tokyo/blog/least-squares-using-matrix/#toc1

まとめ

いかがでしたか?

今回は、最小二乗法を行列演算で求めていく方法について解説しました。

私のブログよりもっとわかりやすいブログやサイトもあるかもしれませんが、私の備忘録であり、それが誰かに役に立ってくれれば嬉しいと思い、まとめてみました。

私自身まだ、完璧に最小二乗法を理解しているわけじゃないので、より理解が深まったら追記などするかもしれません。

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